Tuesday, December 27, 2016

Размышления об арифметической физике (Ю.И.Манин)

формула Эйлера


\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to   здесь  — простые числа)




 .................
Давайте по- смотрим на одну из самых красивых формул Эйлера: 
 π 2 /6 = Y p простое (1− p −2 ) −1 . () 

Правая часть, без всяких сомнений, принадлежит теории чисел: про- стые числа p = 2, 3, 5, 7, 11, … –– один из ее главных предметов изу- чения. 
Осмелюсь сказать, что левая часть, в которой участвует чис- ло π, является физической константой, хотя, видимо, чтобы убедить в этом читателя, потребуется какая-то аргументация. В самом деле, число π может быть (и было) измерено, так же, как температура кипе- ния воды или длина земного экватора. 
Можно сказать, что евклидова геометрия, в которой π появляется как математическая константа, является на самом деле кинематикой идеальных твердых тел, рабо- тающей в макроскопическом приближении плоского гравитационного вакуума.

Чтобы лучше понять формулу (), полезно вспомнить некоторые свойства простых чисел. Классически простое число p определяется как целое положительное число, не имеющее делителей, кроме само- го себя и единицы.  
Каждое целое число можно единственным обра- зом разложить в произведение простых; простых чисел бесконечно много; они распределены довольно нерегулярно; простейшая асимп- тотическая формула для количества простых чисел, не превосходящих N, имеет вид N/ logN. Это, однако, не тот подход, который нам сейчас нужен.  

Современное объяснение роли простых чисел дается теоремой Островского: простыми числами описываются все разумные способы (в дополнение к традиционному) ввести понятие непрерывности на множестве Q рациональных чисел. 
.............



Теорема Островского утверждает, что всякая норма (говорят еще «нормирование») на Q задает ту же топологию, что | · |∞ или | · |p для некоторого простого p. Разумеется, свойства Qp во многих отношениях отличны от свойств R. Главная причина в том, что Qp и R сильно отличаются топологически: p-адические числа образуют канторово множество, или «фрактал» []. 



.............


Тем самым мы опять наблюдаем соединение архимедовых и фрактальных свойств в одном объекте.


........................ 




Если теперь позволить себе несколько рискованное обобщение, то можно сформулировать основную гипотезу этого доклада. На фундаментальном уровне наш мир не является ни веществен- ным, ни p-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи (воз- можно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проектируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проектировать ее в неархимедову сто- рону и вычислять наиболее важные вещи арифметически. «Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительности, напоминающем отношение между сопряженными наблюдаемыми в квантовой механике. Разумеется, никто не обязан принимать эту метафизику всерьез. С


.......
У теории чисел есть своя группа большого объединения: это груп- па Галуа G = Gal(Q¯/Q), состоящая из всех перестановок алгебраиче- ских чисел, сохраняющих алгебраические соотношения между ними с рациональными коэффициентами. Это бесконечная топологическая группа «фрактального» типа; ее структура очень сложна и, в неко- тором смысле, содержит в себе всю арифметику (если учесть также некоторые канонические центральные расширения ее подгрупп –– так называемые группы Вейля). Для иллюстрации этого утверждения от- метим только, что ее максимальная абелева факторгруппа G ab изо- морфна Q p Z ∗ p , так что простые числа появляются вновь, совершенно неожиданным образом –– по существу как образующие G ab. П 

No comments:

Post a Comment