Thursday, January 12, 2017

ПэЧэ, граф Кэли, кубик Рубика и универсалии

Универсального свойства достаточно, чтобы определить объект с точностью до изоморфизма. Таким образом, появляется ещё один способ доказать, что два объекта изоморфны, а именно доказать, что они обладают одинаковым универсальным свойством.

Определение некоего свойства не гарантирует существование объекта, ему удовлетворяющего. Если однако, такой (A, φ) существует, то он единственен. Точнее говоря, он единственен с точностью до единственного изоморфизма.Универсальное_свойство

Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа , для которой существует подмножество  такое, что каждый элемент  записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов  и их обратных

Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование[1][2]Свободная_группа

... любая группа обладает заданием. Задание не обязано быть единственным. Доказать или опровергнуть, что два задания определяют одну и ту же группу сложно (старое название проблемы — одна из проблем Дэна). В общем случае эта проблема алгоритмически неразрешима. ...  Ввиду алгоритмической неразрешимости проблемы, поиск цепочки преобразований Титце одного представления в другое является своего рода искусством.
По заданию группы также сложно определить и другие свойства группы, например её порядок или подгруппу кручения.

Граф Кэли симметрической группы S4

Гру́ппа ку́бика Ру́бика — подгруппа симметрической группы S48

Каждый из поворотов граней кубика Рубика может рассматриваться как элемент симметрической группы множества 48 этикеток кубика Рубика, не являющихся центрами граней. 

Порядок группы  равен[2][3][4][5][6]


Unionpedia is a concept map or semantic network organized like an encyclopedia – dictionary. It gives a brief definition of each concept and its relationships.


Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма


Thursday, January 20, 2011

New theories reveal the nature of numbers

A key creative breakthrough occurred when Emory mathematicians Ken Ono, left, and Zach Kent were hiking. As they walked, they noticed patterns in clumps of trees and began thinking about what it would be like to "walk" amid partition numbers. 

By Carol Clark

For centuries, some of the greatest names in math have tried to make sense of partition numbers, the basis for adding and counting. Many mathematicians added major pieces to the puzzle, but all of them fell short of a full theory to explain partitions. Instead, their work raised more questions about this fundamental area of math.

Now, Emory mathematician Ken Ono is unveiling new theories that answer these famous old questions. (Click here to watch a video of Ono's lecture on the topic.)

Ono and his research team have discovered that partition numbers behave like fractals. They have unlocked the divisibility properties of partitions, and developed a mathematical theory for “seeing” their infinitely repeating superstructure. And they have devised the first finite formula to calculate the partitions of any number.

“Our work brings completely new ideas to the problems,” Ono says. “We prove that partition numbers are ‘fractal’ for every prime. These numbers, in a way we make precise, are self-similar in a shocking way. Our ‘zooming’ procedure resolves several open conjectures, and it will change how mathematicians study partitions.”

The problems of partition numbers "have long fascinated mathematicians," Ono says.

The work was funded by the American Institute of Mathematics (AIM) and the National Science Foundation. Last year, AIM assembled the world’s leading experts on partitions, including Ono, to attack some of the remaining big questions in the field. Ono, who is a chaired professor at both Emory and the University of Wisconsin at Madison, led a team consisting of Jan Bruinier, from the Technical University of Darmstadt in Germany; Amanda Folsom, from Yale; and Zach Kent, a post-doctoral fellow at Emory.

“Ken Ono has achieved absolutely breathtaking breakthroughs in the theory of partitions,” says George Andrews, professor at Pennsylvania State University and president of the American Mathematical Society. “He proved divisibility properties of the basic partition function that are astounding. He went on to provide a superstructure that no one anticipated just a few years ago. He is a phenomenon.”

Child’s play

On the surface, partition numbers seem like mathematical child’s play. A partition of a number is a sequence of positive integers that add up to that number. For example, 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1. So we say there are 5 partitions of the number 4.

It sounds simple, and yet the partition numbers grow at an incredible rate. The amount of partitions for the number 10 is 42. For the number 100, the partitions explode to more than 190,000,000.

“Partition numbers are a crazy sequence of integers which race rapidly off to infinity,” Ono says. “This provocative sequence evokes wonder, and has long fascinated mathematicians.”

By definition, partition numbers are tantalizingly simple. But until the breakthroughs by Ono’s team, no one was able to unlock the secret of the complex pattern underlying this rapid growth.

The work of 18th-century mathematician Leonhard Euler (below) led to the first recursive technique forcomputing the partition values of numbers. The method was slow, however, and impractical for large numbers. For the next 150 years, the method was only successfully implemented to compute the first 200 partition numbers.

“In the mathematical universe, that’s like not being able to see further than Mars,” Ono says.

A mathematical telescope

In the early 20th century, Srinivasa Ramanujan and G. H. Hardy invented the circle method, which yielded the first good approximation of the partitions for numbers beyond 200. They essentially gave up on trying to find an exact answer, and settled for an approximation.

“This is like Galileo inventing the telescope, allowing you to see beyond what the naked eye can see, even though the view may be dim,” Ono says.

Ramanujan also noted some strange patterns in partition numbers. In 1919 he wrote: “There appear to be corresponding properties in which the moduli are powers of 5, 7 or 11 … and no simple properties for any moduli involving primes other than these three.”

The legendary Indian mathematician died at the age of 32 before he could explain what he meant by this mysterious quote, now known as Ramanujan’s congruences.

In 1937, Hans Rademacher found an exact formula for calculating partition values. While the method was a big improvement over Euler’s exact formula, it required adding together infinitely many numbers that have infinitely many decimal places. “These numbers are gruesome,” Ono says.

In the ensuing decades, mathematicians have kept building on these breakthroughs, adding more pieces to the puzzle. Despite the advances, they were unable to understand Ramanujan’s enigmatic words, or find a finite formula for the partition numbers.

“We were standing on some huge rocks, where we could see out over this valley and hear the falls, when we realized partition numbers are fractal,” Ono says. Photo by Zach Kent.

Ono’s “dream team” wrestled with the problems for months. “Everything we tried didn’t work,” he says.

A eureka moment happened in September, when Ono and Zach Kent were hiking to Tallulah Falls in northern Georgia. As they walked through the woods, noticing patterns in clumps of trees, Ono and Kent began thinking about what it would be like to “walk” amid partition numbers.

“We were standing on some huge rocks, where we could see out over this valley and hear the falls, when we realized partition numbers are fractal,” Ono says. “We both just started laughing.”

The term fractal was invented in 1980 by Benoit Mandelbrot, to describe what seem like irregularities in the geometry of natural forms. The more a viewer zooms into “rough” natural forms, the clearer it becomes that they actually consist of repeating patterns (see youtube video, below). Not only are fractals beautiful, they have immense practical value in fields as diverse as art to medicine.

Friday, January 6, 2017

ПэЧэ и КуРу (p-адические числа и кубик Рубика)

однажды элементарные понятия абстрактной алгебры помогли мне собрать кубик рубика, который никак не собирался исходя из "здравого смысла" (слишком сложно было "увидеть" решение)

подумал, что изучение p-адических чисел можно превратить в игру и развлечение на основе идеи кубика Рубика

итак, читаем викиГруппа_кубика_Рубика


Гру́ппа ку́бика Ру́бика — подгруппа симметрической группы S48


Порядок группы  равен[2][3][4][5][6]
Пусть  — граф Кэли группы  с 18 образующими, которые соответствуют 18 ходам метрики FTM.
Каждая из  конфигураций может быть решена не более чем за 20 ходов FTM. Другими словами, эксцентриситет вершины графа , соответствующей «собранному» состоянию головоломки, равен 20[7].

Диаметр графа  также равен 20[8].


грубо говоря, интуитивно РАССТОЯНИЕ для КР - это минимальное число поворотов, за которое он собирается  (максимальное - это 20)


9 сентября 2010 в 00:56

Разработка → Кубик Рубика за 20 шагов

Любая позиция Кубика Рубика может быть решена не более, чем за 20 шагов.

Несколько лет назад было доказано, что для Кубика Рубика есть решение за 23 хода. Теперь это число сократилось до 20. Чтобы это сделать, потребовалось 35 (тридцать пять) лет компьютерного времени, пожертвованного Гуглом.

Каждый блок решения использовал свой алгоритм — последовательность шагов для достижения нужной конфигурации. Например, один алгоритм предназначался для решения верхней грани, а другой — для позиционирования средних краев. Есть множество различных алгоритмов, различающихся по степени сложности и количеству требуемых шагов, но те, которые может запомнить человек, обычно требуют больше 40 шагов.

Разумно полагать, что Бог может использовать более эффективный алгоритм, который решает задачу за наикратчайшее число шагов. Этот алгоритм известен как “алгоритм Бога”. Число шагов в худшем случае называется числом Бога. В конце концов, было показано, что это число — 20.

После изобретения Кубика Рубика пятнадцать лет ушло на поиск позиции, которая наверняка решается за 20 шагов. Через 15 лет после этого мы докажем, что 20 шагов достаточно для любой позиции.

История числа Бога

К 1980 году было установлено, нижняя граница — 18, а верхняя — вероятно, около 80. В таблице ниже собраны все результаты:

Как мы это сделали

Как мы справились с 43 252 003 274 489 856 000 позициями Кубика Рубика?
  • Мы разделили все позиции на 2 217 093 120 множеств — по 19 508 428 800 позиций в каждом.
  • Мы уменьшили число множеств для решения до 55 888 296 на основе симметрии и покрытии множества.
  • Мы не искали оптимальное решение, а только решения с длиной 20 или менее шагов.
  • Мы написали программу, находящее решение для одного множества за 20 секунд.
  • Потребовалось 35 лет компьютерного времени для поиска решений всех конфигураций в каждом из 55 888 296 множеств.

Деление пространства позиций

Мы разбили большую задачу на 2 217 093 120 меньших подзадач: в каждую входило по 19,508,428,800 различных позиций. Одна такая подзадача легко помещается в память современного компьютера, и этот метод позволил достаточно быстро получить решение.


Если повертеть Кубик Рубика влево-вправо или вверх-вниз, то, по сути, ничего не изменится: число шагов в решении останется тем же самым. Вместо того, чтобы решать все эти позиции, можно получить решение для одной и распространить его на повернутые позиции. Есть 24 различных ориентации в пространстве и 2 зеркальных положения Кубика для каждой позиции, что позволяет уменьшить число решаемых позиций в 48 раз. Если использовать аналогичные рассуждения и воспользоваться поиском задачи “покрытия множества”, то число подзадач уменьшается от 2 217 093 120 до 55 882 296.

Хорошие и оптимальные решения

Оптимальное решение содержит достаточное количество шагов, но не больше, чем надо. Так как уже известна одна позиция, для которой требуется 20 шагов, то мы можем не искать оптимальное решение для каждой позиции, а только решения в 20 или менее шагов. Это многократно убыстряет задачу.


У нас была возможность решить 55 882 296 подзадач на мощностях Гугла и выполнить все вычисления за несколько недель. Гугл не раскрывает характеристики компьютеров, но было затрачено 1.1 миллиард секунд компьютерного времени (Intel Nehalem, four-core, 2.8GHz) на выполнение расчетов.

Самая трудная позииция

Мы знали в течении 15 лет, что есть позиции, которые требует 20 шагов, но мы доказали, что ни для одной позиции и не надо больше.

Позиции с решениями в 20 шагов редки, но их вполне возможно встретить в реальности. Вероятность встретить такую позицию варьируется от 10^(-9) до 10^(-8). Мы точно не знаем точное количество таких позиций. Таблица дает оценку числа позиций для каждой длины решения.

Для длин от 16 и больше, числа являются примерными. Наши исследования подтвердили все первоначальные данные до 14 строки включительно, а 15 строка — новый результат. На 11 августа мы обнаружили 12 миллионов позиций с длиной решения 20. Эта позиция была самой сложной для наших программ:


теперь попробуем сформулировать проблему в терминах ПэЧэ

с учётом степеней свободы и того, что поворот навлево равен трём поворотам направо мы можем построить 5-адическое дерево для всех возможных переходов (одну грань можно считать фиксированной и крутить только 5 остальных)

на этом дереве 5-адических чисел вводим отображение (функцию) и "расстояние"

любая "загогулина" на этом дереве (ПэЧэ), повторенная определенное число раз, возвращает чило "к себе" (визуально можно представить себе стрелочки в обратную сторону)

получается что-то типа  неориентированного графа - как в детской игре - когда бросают кости, выпадает число, игрок шагает по карте (тропинка с позициями) и там есть "хитрые места", где игрок "телепортируется" в другое место (задача игру - попасть точно в "выигрышную" позицию "финиш")

игру можно переделать в форму "бродилки со стрелками телепортации"

на 5-адическом дереве для любой "загогулины" (кусочка пути) вводится автоматический эффект телепортации - "возврат в исходную позицию" (задаётся формулой, матрицей или графом) - целочисленная фонкция от "загогулины" - сколько раз нужно повторить "заггогулину", чтобы вернуться в ту же позицию

на полпути "траектория" возврата почти соприкасается с исходной точкой - именно это позволило найти путь к сборке (не самый короткое но всё же решение)

короче, цель головоломки - за минимально число шагов (20 шагов - это вроде с возможностью поворачивать в обе стороны и на 180 градусов - т.е. для 5-алического дерева наверно нужно не больше 52 движений ? ) с учётом автоматической "телепортации" с любой ветки "слезть на землю" (т.е. очутиться в корне 5-адического дерева)

тут можно даже игру бродилку нарисовать - пусть дети с малолетства приучаются мыслить в адических понятиях о расстоянии

ибо как говорил Козьма Прутков - "Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустою забавою.":-)

Wednesday, January 4, 2017

познание сложного в промежутке между нулём и бесконечностью

критерий сложности - модель (описание) сложного сложней сложного

т.е. лучшей моделью и простейшим описанием сложного объекта (явления) является сам сложный объект (явление)

полагая феномен сознания сложным явлением, бессмысленно пытаться его "моделировать"

нам легче понять ту материю (физику) и те явления, которые порождают феномен нашего личного сознания (т.е. понять законы природы и эволюцию Вселенной, приводящих к появлению живых мыслящих людей - т.е. нас любимых) с помощью "первичности", "простоты" в плане понимания себя любимых, "очевидности" данного нам нашего индивидуального сознания

например, память - это феномен времени - прошлое и будущее в настоящем (иногда забывается и-или путается с воображением, сном, фантазией, мечтой)

тело - это скоординированные пространство, протяженность и нелокальность - но в меру (всё имеет естественные размеры)

язык (врожденный дар, правила говорения, своего рода "закон") - врожденная способность узнать "истину" когда она попадется "на глаза" (например, отличить правильное высказывание от ошибочного)

смысл сознания - говорить на языке в поиске и формулировании "истины" (созидание универсального, "правильного" текста) т.е. передвижение материальных объектов "по закону" с целью конструирования "истинного" материального мира  ("правильного" текста на "языке")

обнаружив себя (свое тело и сознание) в промежутке между миллиардами (как минимум) лет в прошлом и будущем, между недостижимым огромным космосом и неуловимыми частичками собственного тела мы имеем шанс применить математику, умеюшую оперировать объектами, уходящими в бесконечность как в малое так и в большое, например - ПэЧэ (p-адическими числами)

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

приятно знать, что есть инструмент познания тонкой но ненулевой границы между недостижимыми бесконечно большим и бесконечно малым, между забытым прошлым и неизвестным будущим

за p-адический анализ!


Информация физична?

С.И. Доронин, Квантовая магия

3.4. Физика информации


Суть квантовой информации и одновременно ее исключительная особенность — в том, что эта физическая величина как нельзя лучше подходит на роль «первичной субстанции всего сущего». О самом определении мы поговорим чуть позже, а сейчас — еще несколько слов о векторе развития науки, точнее, об общих тенденциях и трансформации взглядов ученых на окружающую реальность, а также на ту роль, которую играют в ней те или иные физические процессы. Вот как пишет об этом Б. Киви в статье «Инфо-космо-логия»*:
«Все больше теоретиков считают, что ключевой идеей, ведущей к „великому объединению“ гравитации и квантовой теории, может стать переформулирование взглядов на природу не в терминах материи и энергии, а в терминах информации».
Одним из первых об этом заговорил патриарх американский физики, великий Джон Арчибальд Уилер (подаривший миру, среди прочего, любопытный термин «черная дыра»). Вот как он пишет в своей автобиографии о роли информации [John Archibald WheelerGeonsBlack Holes & Quantum Foam: A Life in PhysicsNew York, W. W. Norton & Company, 1998. Р. 63–64], опубликованной несколько лет назад:
«Моя жизнь в физике представляется мне разделенной на три периода. В первый из них, растянувшийся с начала моей карьеры и до начала 1950-х годов, я был захвачен идеей, что „всё — это частицы“. Я искал способы выстроить все базовые элементы материи (нейтроны, протоны, мезоны и т. д.) из самых легких, наиболее фундаментальных частиц — электронов и фотонов.
Второй период я называю „всё — это поля“. С тех пор, как я влюбился в общую теорию относительности и гравитацию в 1952 году, и вплоть до недавнего времени, я придерживался взгляда на мир, как на состоящий из полей. Мир, в котором то, что представляется нам частицами — это в действительности проявления электрических и магнитных полей, гравитационных полей и самого пространства-времени.
Теперь же я захвачен новой идеей: „Всё — это информация“. Чем больше я размышляю о квантовых тайнах и о нашей странной способности постигать тот мир, в котором мы живем, тем больше вижу, вероятно, фундаментальное значение логики и информации как основы физической теории».

* Источник «Компьютера»

Неплохо сказал об этом П. Дэвис в своей статье*: «Обычно мы думаем о мире, как о составленном из простых, подобных сгусткам, материальных частицах, и под информацией понимаем производную характеристику объекта восприятия, относящуюся к особого рода организованным состояниям вещества. Но возможно, что все наоборот: похоже, что Вселенная на самом деле — шалость первичной информации, а материальные объекты являются ее сложным вторичным проявлением».

Davies P. Bit before it? (1999), New Scientist, 161 (2171), p. 3.

Материальный мир как «шалость первичной информации» — хорошо сказано! Действительно, в квантовой теории весь классический домен составляет лишь незначительную часть совокупной Квантовой Реальности, далеко не самую главную и значимую. Материальный мир вовсе не является основой реальности, и его вполне можно считать результатом «шалости» информационных процессов, происходящих на фундаментальном уровне в нелокальном источнике реальности.
Свою статью П. Дэвис заканчивает словами: «Если информация действительно должна заменить материю как самая первейшая субстанция Космоса, то нас может ожидать еще большая награда. <...> С современной точки зрения, мозги (материя) рождают мысли (ментальную информацию). <...> Но если материя является формой организованной информации, то тогда и сознание уже не так таинственно, как нам казалось»*.

Цит. по книге: Лем С. Мегабитовая бомба // Компьютера. 2001. № 18 (395).

Замечу, что в настоящее время уже есть понимание физических процессов (декогеренции), в результате которых появляется материя как «форма организованной информации».


Имея дело с классической информацией, мы разделяем саму информацию и физический носитель. В результате чего можем лишь приспособить какой-либо материальный объект для хранения (передачи) определенного количества «классической» информации. Получается, что без материального носителя информация не может существовать. Поэтому и возникают иногда вопросы, где содержится квантовая информация, и что является ее носителем? В квантовой теории с этим как раз все просто и ясно: поскольку информация здесь — это физическая величина, характеризующая систему, то сама система и является носителем квантовой информации. Это все равно что спросить: а где содержится масса физического тела? Да в нем самом эта масса и содержится, поскольку является одной из количественных характеристик данного тела.


... квантовая информация является самой фундаментальной количественной характеристикой системы, поскольку для ее определения нет необходимости вводить дополнительные соображения о том, какие еще физические величины (операторы) характерны для данной системы. Квантовая информация как мера существует всегда, если есть система, независимо от того, в каком состоянии она находится. Информация сама по себе является физической сущностью и существует даже тогда, когда система находится в нелокальном состоянии, поэтому ее можно считать «первичной субстанцией», из которой в процессе декогеренции могут «проявляться» локальные объекты. «Информация физична» в прямом смысле — она является источником всех других физических процессов и материальных проявлений, которые могут иметь место в системе. Отсюда и более высокий статус квантовой информации относительно других физических величин, которые мы могли бы дополнительно привлечь для описания системы. А поэтому выше и значимость закона сохранения квантовой информации по сравнению с другими законами сохранения (массы, энергии, импульса и т. д.)


Квантовая теория информации таким образом непосредственно связывает информацию с энергией через энтропию фон Неймана, которую можно считать основной физической характеристикой энергоинформационного процесса. Изменение информации сопровождается изменением энергии, а обмен информацией напрямую связан с обменом энергией (справедливо и обратное) — это еще один важный вывод, который сделан в физике квантовой информации.
Есть и отдельные строгие результаты, связывающие информацию, энергию и энтропию. В частности, теорема Марголюса-Левитина* утверждает, что число элементарных логических операций, которые физическая система может выполнить в единицу времени, ограничено энергией системы, а количество информации, которую система может зарегистрировать (воспринять), ограничено ее собственной максимальной энтропией**.

Margolus N. and Levitin L. B., in PhysComp96, Proceedings of the Fourth Workshop on Physics and Computation, edited by Toffoli T., Biafore M., and Leão J. (New England Complex Systems Institute, Boston, 1996); Physica (Amsterdam) 120D, 188–195 (1998).
** Lloyd S. Nature (London) 406, 1047–1054 (2000); Landauer R. Nature (London335, 779–784 (1988).

Прямая связь между энергией и выполняемыми логическими операциями (информационными процессами) позволяет перекинуть мостик к физическим процессам, сопровождающим работу сознания, поскольку она непосредственно связана с логическими операциями.

Monday, January 2, 2017

ПэЧэ или P-адические числа

Господин ПэЖэ. Принадлежит к касте Чатлан. Носит голубые штаны. Не очень злобен. Чтобы его задобрить, достаточно вставить в нос цак и раз десять сделать «Ку!» (по уточнённым данным — от 8 до 12 раз). Раньше он жил со своей мамой на планете Плюк в галактике Кин-дза-дза. Радовался жизни, делал кислую физиономию, издавал приказы вида «Всем пацакам надеть намордники и радоваться!» В общем, вёл обычную жизнь обычного губернатора планеты. Но однажды, когда в Годвилле ещё существовало пиво, и некропетровские физики пили его с демиургами, они решили поставить ненаучный эксперимент и под шумок набили в трубку одному из Творцов несколько грамм элементарных частиц вместо табака. Никто не знает, почему появился именно господин ПэЖэ (может быть, потому что демиург прикуривал не чем-нибудь, а самым настоящим КЦ, сиречь спичками), и неизвестно, что было дальше, но проснулись они утром без спичек, с цаками в носу и в серых штанах. А сам господин ПэЖэ довольно быстро освоился в новом для него мире. Теперь он ходит по дорогам и просит закурить. Если кто-либо достаёт спички — он их отбирает и, в случае претензий со стороны потерпевшего, грозится применить транклюкатор. Никто не знает, что это такое, поэтому все боятся.

"In physical science the first essential step in the direction of learning any subject is to find principles of numerical reckoning and practicable methods for measuring some quality connected with it. I often say that when you can measure what you are speaking about, and express it in numbers, you know something about it; but when you cannot measure it, when you cannot express it in numbers, your knowledge is of a meager and unsatisfactory kind; it may be the beginning of knowledge, but you have scarcely in your thoughts advanced to the state of Science, whatever the matter may be." [PLA, vol. 1, "Electrical Units of Measurement", 1883-05-03]

Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в p-адических системах координат


Только в Х1Х веке, благодаря работам Кантора и Дедекинда, было создано строгое математическое описание вещественных чисел. Заметим, что камнем преткновения являлись иррациональные числа ъ'2,«г,... Реальность рациональных чисел, представляемых отношениями целых чисел, не вызывала больших сомнений. Таким образом, основной проблемой являлось расширение (пополнение) множества рациональных чисел 1) до множества вещественных чисел В.. Иррациональные числа не могут быть описаны с помощью конечных процессов. Здесь действительно возникает элемент иррациональности. Интересно, что П.А. Флоренский сравнивал процесс построения иррационального числа с процессом «приближения к Богу». Вообще, можно согласиться с высказыванием А Пуанкаре: «В итоге можно сказать, что разум обладает способностью создавать символы; благодаря этой способности он построил математическую непрерывность 1т.е. поле вещественных чисел), которая представляет собой только особую систему символов» ).

В дальнейшем нас будет серьезно интересовать следующий вопрос: «Является ли поле вещественных чисел В. единственным «естественным» расширением поля рациональных чисел 1)7» Мы увидим, что существуют другие расширения поля 1), а именно — поля р-адических чисел 1)р, которые возникают не менее естественно, чем В.. Таким образом, отталкиваясь от рациональных чисел, разум может создавать и другие системы символов, отличные от вещественных чисел. В этой книге предлагается использовать эти новые системы чисел — р-адические числадля описания разума ). Но пока вновь вернемся к описанию мира с помощью вещественных чисел.
') Подробное обсуждение становления реалистического взгляда на вещественные числа можно найти в книге П.А. Флоренского 175).
з)Пуанкаре А. О науке. — Ме Наука, 1983.
з) Конечно, возникает весьма интересная проблема, которая на протяжении столетий обсуждается философами, психологами, нейрофизиологами, логиками, математиками: «Может ли разум в принципе создать систему символов, описывающую его самого)» В целом предлагаемая книга дает положительный ответ на этот вопрос.


Владимиров и Волович выразили в четкой математической форме неясные представления о неархимедовости 1и неупорядоченности) пространства в микромире, витавшие на протяжении десятилетий в космологии, теории гравитации и теории струн. С другой стороны, Владимиров и Волович впервые четко обозначили роль рациональных чисел в физике и отделили использование рациональных чисел от более общих вещественных. В традиционной классической физике рациональные числа никогда не выделялись, все процессы рассматривались в В.. Впервые было подчеркнуто, что лишь рациональные числа являются физическими числами. Действительно, в любом эксперименте можно измерить лишь конечное число знаков после запятой.


Анри Пуанкаре


Физическая непрерывность. Итак возникает вопрос, не заимствовано ли понятие математической непрерывности просто из опыта. Если бы это было так, то это означало бы, что данные непосредственного опыта, каковыми являются наши ощущения, доступны измерению.
Может явиться искушение поверить, что это и в самом деле так, потому что в последнее время пытались измерить их, и был даже сформулирован закон, известный под именем закона Фехнера, по которому ощущение пропорционально логарифму раздражения.  {28} 
Но если ближе присмотреться к опытам, которыми пытались обосновать этот закон, то можно прийти к совершенно противоположному заключению. Например, было замечено, что вес A, равный 10 граммам, и вес B, равный 11 граммам, производят тождественные ощущения, что вес B нельзя отличить от веса C, равного 12 граммам; но что вес A можно легко отличить от веса C. Таким образом, непосредственные результаты опыта могут быть выражены следующими соотношениями:

A = B,    B = C,    A < C,

которые можно рассматривать как формулу физической непрерывности. Эта формула заключает в себе недопустимое разногласие с законом противоречия; необходимость избежать его и заставила нас изобрести идею математической непрерывности.
Итак, необходимо заключить, что это понятие всецело создано разумом, но что опыт доставил ему повод для этого.
Мы не можем допустить, что два количества, равные одному и тому же третьему, не равны между собой; и это обстоятельство вынуждает нас предположить, что A отличается от B и B от C, но несовершенство наших чувств не позволило нам этого заметить.


Различные замечания. Мы можем поставить перед собой несколько важных вопросов:
1. Исчерпывается ли творческое могущество разума созданием математической непрерывности?
Нет: труды Дюбуа-Реймона служат поразительным доказательством этого.
Известно, что математики различают бесконечно малые разных порядков, так что бесконечно малые второго порядка не только бесконечно малы в абсолютном смысле, но еще и являются таковыми по отношению к бесконечно малым первого порядка. Нетрудно представить себе бесконечно малые дробного и даже иррационального порядка, и, таким образом, мы снова находим ту последовательность математической непрерывности, которой посвящены предшествующие страницы. Более того: существуют такие бесконечно малые величины, которые бесконечно малы по отношению к бесконечно малым первого порядка и, напротив, бесконечно велики по отношению к бесконечно малым порядка 1 + ε, как бы ни было мало ε. Итак, вот еще новые члены, разместившиеся в нашем ряду; и если мне будет позволено вернуться к терминологии, которой я недавно держался и которая является достаточно удобной, хотя еще и не используется широко, я скажу, что этим создан вид непрерывности третьего порядка.
Легко было бы идти дальше, но это было бы бесполезной игрой ума; пришлось бы воображать себе одни символы без возможности их применения; на это никто не отважится. Даже непрерывность третьего порядка, к которой приводит рассмотрение различных порядков бесконечно малых, сама по себе является слишком мало полезной, чтобы приобрести право быть упоминаемой, и геометры рассматривают ее только просто как курьез. Разум пользуется своей творческой силой только тогда, когда опыт принуждает его к этому.
2. Раз мы обладаем понятием математической непрерывности, гарантированы ли мы от противоречий, аналогичных тем, которые положили начало этому понятию?
Нет; и я сейчас дам этому пример.
Надо быть очень сведущим, чтобы не считать очевидным, что каждая кривая имеет касательную:  {34}  и в самом деле, если представлять себе эту кривую и некоторую прямую как две узкие полосы, то всегда можно расположить их так, что они будут иметь общую часть, не пересекаясь. Теперь вообразим себе, что ширина этих двух полос бесконечно уменьшается; существование их общей части будет всегда возможным, и в пределе, так сказать, две линии будут иметь общую точку, не пересекаясь, т. е. они будут взаимно касаться друг друга.
Геометр, рассуждающий таким образом, сделал бы — сознательно или нет — то же самое, что мы сделали раньше, желая доказать, что две пересекающиеся линии имеют общую точку; и его интуиция могла бы показаться такой же законной.
Между тем она его обманула бы. Можно доказать, что существуют кривые, не имеющие касательных, если эта кривая определена как аналитическая непрерывность второго порядка.
Несомненно, какая-нибудь уловка, аналогичная раньше изученным нами, позволила бы устранить противоречие, но так как оно встречается только в весьма исключительных случаях, то им и не занимаются. Вместо того чтобы стараться примирить интуицию с анализом, удовольствовались тем, что пожертвовали одним из двух; и так как анализ должен остаться непогрешимым, то всю вину отнесли на счет интуиции.