Квантовые вычисления

гуглеревод :)

https://www.linkedin.com/pulse/20-amazing-facts-quantum-computing-everyone-should-read-bernard-marr

Бернард Марр

...


1. Квантовые вычисления направлены на то, чтобы воспользоваться необычными свойствами, которые проявляют материя, когда мы начнем изучать его на уровне деталей ниже уровня атома - субатомного или квантового уровня.

2. В то время как обычный компьютер использует двоичные «биты» (один и ноль) в качестве процесса вычисления, квантовый компьютер использует квантовые биты, знает как кубиты, которые могут существовать одновременно в обоих состояниях, а также во многих других состояниях между ними.

3. Кубицы демонстрируют свойства квантового переплетения - явление, которое означает, что пары или группы частиц не могут быть измерены или описаны независимо друг от друга - они «запутаны», а их состояние зависит от состояния других частиц в группе.

4. Из-за факторов, которые до сих пор не полностью понятны, несмотря на все усилия Эйнштейна, Шредингера и многих других, поскольку, похоже, что частицы, связанные таким образом, могут передавать информацию между собой, хотя теоретически они могут быть неограниченным расстоянием Кроме.

5. Ученые-компьютерщики, работающие на квантовых компьютерах, считают, что в будущем можно будет использовать эти механизмы и создать компьютеры, которые будут в миллионы раз эффективнее всего того, что доступно сегодня.

Между тем, в реальном мире ...

6. Возможность квантовых вычислений была впервые предложена физиком Ричардом Фейнманом в 1982 году.

7. В 1994 году математик Питер Шоу продемонстрировал, как квантовые вычисления могут быть использованы для взлома общедоступных стандартов шифрования, многие из которых все еще используются сегодня.

8. DARPA представила онлайн первую в мире операционную квантовую сеть в 2003 году, открыв новые горизонты в области квантовых вычислений, а также защищенных коммуникаций.

9. В 2012 году в Ванкувере, Британская Колумбия, был создан первый в мире специализированный коммерческий бизнес, ориентированный на квантовые вычисления - 1Qbit.

10. IBM запустила Q, которая предлагает услуги по квантовым вычислениям с 5 кубитами через облако в 2016 году. В прошлом году она повысила до 20 кубитов мощности квантовой обработки.

11. Организации, которые, как известно, используют инфраструктуру квантовых вычислений D-Wave, включают Google, NASA и Lockheed Martin.

Защитники

12. Satya Nadella, генеральный директор Microsoft: «В мире заканчиваются вычислительные мощности. Закон Мура выздоравливает ... [нам нужны квантовые вычисления], чтобы создать все эти богатые опыты, о которых мы говорим, весь этот искусственный интеллект ».

13. Сет Ллойд, автор «Программирования Вселенной»: «Классическое вычисление похоже на сольный голос - одна линия чистых тонов, сменяющих друг друга. Квантовый расчет похож на симфонию - многие линии тонов мешают друг другу ».

14. Дэвид Дойче, физик из Центра квантовых вычислений, Оксфордский университет: «Квантовые вычисления станут первой технологией, позволяющей выполнять полезные задачи в сотрудничестве между параллельными юниверсами».

15. Джереми О'Брайен, физик и профессор-исследователь из Университета Бристоля: «Менее чем за 10 лет квантовые компьютеры начнут превзойти повседневные компьютеры, что приведет к прорыву в искусственном интеллекте, открытии новых фармацевтических препаратов и за его пределами. Очень высокая вычислительная мощность, предоставляемая квантовыми компьютерами, может разрушить традиционные предприятия и бросить вызов нашей кибербезопасности ».

16. Geordie Rose, технический директор D-Wave: к 2028 году будут созданы интеллектуальные машины, которые могут делать все, что могут сделать люди. Квантовые компьютеры сыграли бы решающую роль в создании этого нового типа интеллекта.

Умственные изгибы Квантовые факты

17. Квантовые вычисления требуют чрезвычайно низких температур, поскольку субатомные частицы должны быть как можно ближе к стационарному состоянию, которое должно быть измерено. Ядра квантовых компьютеров D-Wave работают на уровне -460 градусов f или -273 градусов c, что на 0,02 градуса от абсолютного нуля.

18. Квантовые вычисления часто описываются как «естественные». Это связано с тем, что, хотя мы не полностью понимаем их, механизмы, лежащие в основе реального мира (которые эволюционировали по природе), явно действуют на субатомном уровне. Моделируя это с помощью компьютеров, мы делаем огромный шаг ближе к тому, чтобы смоделировать естественный мир.

19. На квантовом уровне научная фантастика, похоже, становится реальностью. Частицы могут перемещаться назад или вперед во времени и телепортироваться (квантовое туннелирование) между двумя положениями.

Одно из возможных объяснений того, почему работают квантовые компьютеры, связано с параллельными юниверсами. Было высказано предположение, что кубиты могут существовать одновременно в двух состояниях, поскольку мы наблюдаем их одновременно в нескольких вселенных.

...
https://www.linkedin.com/pulse/20-amazing-facts-quantum-computing-everyone-should-read-bernard-marr

Кубиты на языке квантового программирования Q#

любителям языков програмирования - немножко гуглтранса для ясности :)
http://www.quicklydone.com/2018/12/qubits-in-q.html

...




На этом рисунке каждая горизонтальная линия является кубитом, каждый из которых является операцией, а время течет слева направо.

Когда мы хотим разработать язык программирования для выражения квантового вычисления, естественно возникает вопрос о том, должны ли быть представлены кубиты на языке, и если да, то каким образом. ...

Квантовые состояния как линейные типы

... Подразумевается, что программный кубит представляет собой состояние кубита, а не фактический объект. ... квантовые вычисления работают, применяя операции к физическим объектам, а не к квантовым состояниям, поэтому абстракция не соответствует оперативной реальности...

Кубиты как непрозрачные ссылки

Альтернативный подход заключается в использовании непрозрачного типа данных, который представляет ссылку на конкретную квантовую систему с двумя состояниями, будь то физическую или логическую ... Q# следуют этой модели.

Квантовые вычисления по побочному эффекту

Представление, используемое в Q #, имеет интересную импликацию, что все фактические квантовые вычисления выполняются побочным эффектом. Невозможно напрямую взаимодействовать с квантовым состоянием компьютера; он вообще не имеет программного обеспечения. ... Фактически, квантовое состояние компьютера представляет собой непрозрачную глобальную переменную, которая недоступна, за исключением небольшого набора примитивов доступа (измерений) - и даже эти аксессоры имеют побочные эффекты в квантовом состоянии и, следовательно, действительно являются «мутаторами с результатами» чем истинные аксессоры.

В общем программировании использование побочных эффектов и глобального состояния обычно обескураживается. Для квантовых вычислений, с другой стороны, они, похоже, очень хорошо соответствуют реальной физической реальности. По этой причине мы решили, что эта абстракция была правильной для использования в Q#.

Мировые константы "пи" и "e" в основных законах физики и физиологии

https://www.nkj.ru/archive/articles/4774/


Существуют ли квантовые компьютеры на самом деле?

1

Что случилось?

Просто: В СМИ опять поднялась шумиха про квантовые компьютеры будущего.
Сложнее: В Google объявили, что принадлежащий компании квантовый компьютер D-Wave решил поставленную задачу в 100 миллионов раз быстрее, чем обычный компьютер. Эта новость стала поводом для нового обсуждения одного из самых ожидаемых технологических прорывов. Разработку настоящего квантового компьютера можно сравнить с мечтой о лекарстве от рака или болезни Альцгеймера, термоядерной энергии и колонизации Марса. «Медуза» попросила научного журналиста Сергея Немалевича объяснить, существуют ли уже настоящие квантовые компьютеры и чем они лучше обычных. 

2

Почему о квантовых компьютерах столько говорят?

Просто: Потому что они очень быстрые.
Сложнее: В не очень далеком будущем квантовые компьютеры могут стать необходимостью. Потребности человечества в производительности компьютерных процессоров уже сейчас обгоняют развитие классической электроники. Есть знаменитый закон Мура, описывающий скорость роста производительности процессоров: число транзисторов на кристалле интегральной схемы удваивается каждые два года. Сейчас этот закон уже не совсем выполняется — число транзисторов удваивается раз в 2,5 года. Так или иначе, производительность традиционных процессоров не может расти до бесконечности. Никто не знает, когда понадобится качественный скачок, но рано или поздно он обязательно понадобится. И создание квантового компьютера, способного решать некоторые важные вычислительные задачи гораздо быстрее обычного, — одно из возможных направлений развития. 

3

Что такое квантовый компьютер? Чем он отличается от обычного?

Просто: В обычных информация хранится в битах — нулях или единицах, а в квантовых — в кубитах. Кубиты могут как бы находиться одновременно в двух состояниях: содержать ноль и единицу сразу. Благодаря этому теоретически квантовый компьютер может работать быстрее.
Сложнее: Как понятно из названия, квантовый компьютер использует феномены квантовой механики. В микромире, живущем по законам квантовой механики, возможны явления, немыслимые в привычном нам макромире. Например, частица может находиться в суперпозиции — сразу в двух состояниях. Есть популярная метафора: представьте подброшенную в воздух монету, которая одновременно и орел, и решка. Грубо говоря, примерно так же устроена работа кубита — основной единицы хранения информации в квантовом компьютере. 
Другой эффект называется квантовой зацепленностью: состояния двух частиц могут быть взаимосвязаны и меняться одновременно, даже если эти частицы находятся в разных уголках галактики. Благодаря квантовой зацепленности кубиты можно собирать в связанные между собой наборы. Если набор из N классических бит хранит последовательность из N нулей и единиц, то в регистре из N кубит записано несравнимо больше информации — суперпозиция всех возможных последовательностей из N нулей и единиц.
Поймав монету, мы видим, что она выпала либо орлом, либо решкой — вероятность 50 на 50. Так же, измеряя состояние кубита, мы получим ноль, либо один; только — в отличие от монеты — вероятности получения каждого из двух значений не равны. Вот эти вероятности и «записаны» в суперпозиции. А если измерить значение квантового регистра, получится только одна последовательность нулей и единиц, но, опять же, с некоторой вероятностью, которая — в виде коэффициента — хранилась в исходном квантовом состоянии.
Квантовая ячейка памяти содержит не конкретную единицу информации, а набор вероятностей получения любой возможной единицы информации при измерении. И если классический процессор за один такт изменяет последовательность из N нулей и единиц, то квантовый процессор изменяет набор из 2 в степени N вероятностей — в сущности, совершая экспоненциально больше работы. Это свойство называется квантовым параллелизмом, и теоретически квантовый процессор может работать экспоненциально быстрее классического. 

4

И как, получается?

Просто: Не особо.
Сложнее: На самом деле, почти никогда не получается. Во-первых, квантовые вычисления не дают абсолютно точного решения задачи — ответ оказывается правильным только с некоторой вероятностью, и коррекция возможной ошибки отнимает дополнительные вычислительные ресурсы. Во-вторых, когда имеешь дело не с понятными нулями и единицами, а с их громоздкими суперпозициями, приходится исхитряться, даже чтобы реализовать простейшие логические операции. Построение квантовых алгоритмов — теоретическая область, развивающаяся параллельно с попытками инженеров создать для них квантовые компьютеры. Успехов в этом направлении достигнуто больше, в частности, известно, что любой классический алгоритм можно перепрограммировать в квантовый, но число квантовых алгоритмов, которые будут заведомо работать намного быстрее классических (то есть возникнет «квантовое ускорение»), относительно невелико. Самые известные из них — алгоритм Гровера для решения задачи перебора и алгоритм Шора, позволяющий раскладывать число на сомножители. 

5

Так квантовые компьютеры существуют или нет?

Просто: Да, но такие простые, что их квантовость не дает никаких преимуществ. 
Сложнее: Квантовых компьютеров, которые способны решать любую задачу, пока не существует. Большинство исследований сейчас направлено не столько на построение действующих квантовых компьютеров, сколько на отработку базовых технологий, в первую очередь — создания кубитов. Время от времени на регистрах из нескольких кубитов запускаются какие-нибудь квантовые алгоритмы и решаются простенькие задачи, вроде разложения числа 143 на простые множители или осуществления перебора из четырех вариантов. Поскольку базовых проблем остается еще очень много, создавать системы больше, чем из пары десятков кубитов, не имеет особого смысла, а у устройств с меньшим количеством кубитов нет заметных преимуществ перед классическими компьютерами. Особняком здесь стоят устройства канадской компании D-Wave, последнее из которых — с 1152 кубитами внутри — наделало недавно столько шума.

6

Квантовые компьютеры никак не могут сделать — в чем проблема?

Просто: Квантовые системы очень чувствительны: чуть что, они лишаются своего квантового волшебства, а заодно и всех полезных свойств.
Сложнее: Любое «наблюдение» или «измерение», а в сущности, почти любой контакт с внешней средой приводит к тому, что квантовая система становится классической, это явление называется декогеренцией. Представьте подброшенную монетку, которая от столкновения с любой молекулой воздуха или даже от случайно упавшего на нее взгляда немедленно выпадает орлом или решкой. А уж если в системе несколько запутанных кубит, удержать их от декогеренции еще сложнее — это иногда сравнивают с попыткой поставить множество карандашей вертикально на кончики остро отточенных грифелей. Качественная изоляция квантовой системы от внешней среды — не только инженерно сложная, но и дорогостоящая задача. Даже первые прототипы квантовых вычислителей с несколькими кубитами по размерам напоминают компьютеры середины прошлого века и стоят миллионы долларов. Сейчас разрабатывается несколько конкурирующих технологий реализации кубитов, и самая главная задача — как можно дольше удержать их от декогеренции. 

7

D-Wave продвинулась дальше других?

Просто: Да, они продвинулись дальше других, но в основном в области маркетинга — хорошо продают свои продукты. 
Сложнее: Не особо. Канадская компания D-Wave имеет удивительную историю. В 1999 году физик-инженер и чемпион мира по борьбе джиу-джитсу Джорди Роуз прочитал популярную книгу про квантовые вычисления и увлекся этой идеей. О практической реализации квантовых компьютеров тогда еще мало кто помышлял, но Роуз умудрился привлечь финансирование на создание прототипа квантового вычислителя — не имея ни ноу-хау, ни технологий. Почти все разработки D-Wave вела чужими руками, зато каждый созданный прототип упаковывался в черную коробку (точнее — шкаф) с красивым логотипом, который потом громко представляли на рынке как действующий квантовый компьютер. Научное сообщество морщилось, однако коммерческие гиганты, в том числе Lockheed Martin и Google, устройства D-Wave покупали, не жалея десятков миллионов долларов — на всякий случай. Споры о том, что именно находится в черных ящиках с логотипом D-Wave — и можно ли это назвать квантовым компьютером, не утихают до сих пор.

8

Чем устройства D-Wave отличаются от тех, что разрабатывают конкуренты?

Просто: Легче сказать, чем они похожи — в них есть кубиты и их почему-то называют квантовыми компьютерами. В остальном почти ничего общего.
Сложнее: Хотя в этих устройствах тоже есть кубиты, они выстроены в специфическую прихотливую архитектуру. В сущности, D-Wave умеет решать одну-единственную оптимизационную задачу, которая соответствует естественной эволюции лежащей в ее основе квантовой системы. Машину нельзя непосредственно заставить сложить два числа, выполнить простейшую логическую операцию, на ней нельзя запустить квантовый алгоритм Шора. Все, что она умеет делать — симулировать саму себя, как если бы для решения задачки из школьного учебника про движение двух поездов навстречу друг другу использовалась система, состоящая их двух настоящих поездов и секундомера. Любопытно, что долго никто не мог даже доказать, что работа D-Wave действительно использует явления квантового мира. Убедиться в этом воочию невозможно (как уже говорилось, квантовые эффекты нельзя наблюдать — они сразу становятся классическими), так что единственный способ — удостовериться, что устройство способно сделать то, на что не способны классические системы, например, работать намного быстрее них. И именно это наконец удалось сделать исследователям из Google.

9

Так это правда, что D-Wave работает в сто миллионов раз быстрее обычного компьютера?

Просто: Правда. Как и то, что улитка доползет до соседней комнаты быстрее вас, если вы решите попутно обогнуть экватор.
Сложнее: Это правда, но только если сравнивать работу D-Wave с работой классического алгоритма, имитирующего то, что происходит внутри D-Wave по обычным физическим законам. Возвращаясь к примеру с задачкой про поезда, такой алгоритм бы буквально моделировал движение двух поездов, всякий раз проверяя, не встретились ли они. Разумеется, есть способ решить ту же задачу проще и быстрее — подставив нужные значения переменных в несложную формулу. Так же и с D-Wave: машина решила задачу поиска минимума с помощью так называемого квантового отжига, команда Google сравнила результат с работой алгоритма имитации квантового отжига, и да — получилось в сто миллионов раз быстрее. Но для того же вычисления есть другой классический алгоритм Селби, который выполняет его быстрее, чем D-Wave. Об этом, кстати, прямо говорится в статье специалистов Google. Другими словами, D-Wave работает быстрее, когда решает одну узкоспециальную задачу и только если сравнивать ее с работой одного неоптимального классического алгоритма. С практической точки зрения, никакого смысла в этом нет, вожделенного квантового ускорения тоже не наблюдается.

10

Выходит, Google всех надул?

Просто: Нет. Скорее Google убедился, что не надули его.
Сложнее: Отнюдь, все эти подробности явно описаны в статье. Если кто-то кого-то и надул, то это журналисты, поспешившие сообщить о технологической революции. А Google нужно было убедиться, что купленная ими машина хотя бы и впрямь является квантовой — для этого нужно было сравнить скорость ее работы именно с неоптимальной классической имитацией квантового отжига. Теперь никто не сомневается, что в работе D-Wave участвует квантовое явление, а если точнее — так называемый туннельный эффект. Но никто не сомневается, что системе D-Wave не суждено совершить настоящую революцию в квантовых вычислениях — она слишком специфически устроена, ее преимущества очень редко проявляются, с ней не работают уже придуманные квантовые алгоритмы. Скорее всего, по-настоящему большие новости придут не со стороны канадского стартапа, а от одной из сильных академических лабораторий, например, под руководством Джона Мартиниза в университете Санта-Барбары или Криса Монро в университете Мэриленда.
Автор: Сергей Немалевич

https://meduza.io/cards/suschestvuyut-li-kvantovye-kompyutery-na-samom-dele
15 декабря 2015

40 цитат Альберта Эйнштейна

Однажды в переписке с Чарли Чаплином Эйнштейн восхищенно заметил: «Ваш фильм „Золотая лихорадка“ понятен во всём мире, и Вы непременно станете великим человеком». Чаплин ответил ему: «Я Вами восхищаюсь ещё больше. Вашу теорию относительности никто не понимает, а Вы всё-таки стали великим человеком».

Есть только две бесконечные вещи: Вселенная и глупость. Хотя насчет Вселенной я не уверен.

Только дурак нуждается в порядке — гений господствует над хаосом.

Теория — это когда все известно, но ничего не работает. Практика — это когда все работает, но никто не знает почему. Мы же объединяем теорию и практику: ничего не работает... и никто не знает почему!

Есть только два способа прожить жизнь. Первый — будто чудес не существует. Второй — будто кругом одни чудеса.

Образование — это то, что остаётся после того, как забывается всё выученное в школе.

Все мы гении. Но если вы будете судить рыбу по её способности взбираться на дерево, она проживёт всю жизнь, считая себя дурой.

Только те, кто предпринимают абсурдные попытки, смогут достичь невозможного.

Я не знаю, каким оружием будет вестись третья мировая война, но четвёртая — палками и камнями.

Воображение важнее, чем знания. Знания ограничены, тогда как воображение охватывает целый мир, стимулируя прогресс, порождая эволюцию.

Бессмысленно продолжать делать то же самое и ждать других результатов.

Ты никогда не решишь проблему, если будешь думать так же, как те, кто ее создал.

Тот, кто хочет видеть результаты своего труда немедленно, должен идти в сапожники.

Все знают, что это невозможно. Но вот приходит невежда, которому это неизвестно — он-то и делает открытие.

Жизнь — как вождение велосипеда. Чтобы сохранить равновесие, ты должен двигаться.

Разум, однажды расширивший свои границы, никогда не вернется в прежние.

Морскую болезнь вызывают у меня люди, а не море. Но, боюсь, наука еще не нашла лекарства от этого недуга.

Человек начинает жить лишь тогда, когда ему удается превзойти самого себя.

Стремись не к тому, чтобы добиться успеха, а к тому, чтобы твоя жизнь имела смысл.

Математика — это единственный совершенный метод водить самого себя за нос.

Чем больше моя слава, тем я больше тупею; и таково, несомненно, общее правило.

Если вы хотите вести счастливую жизнь, вы должны быть привязаны к цели, а не к людям или к вещам.

Международные законы существуют только в сборниках международных законов.

При помощи совпадений Бог сохраняет анонимность.

Единственное, что мешает мне учиться, — это полученное мной образование.

Я пережил две войны, двух жён и Гитлера.

Вопрос, который ставит меня в тупик: сумасшедший я или все вокруг меня?

Я никогда не думаю о будущем. Оно приходит само достаточно скоро.

Самое непостижимое в этом мире — это то, что он постижим.

Человек, никогда не совершавший ошибок, никогда не пробовал ничего нового.

Все люди лгут, но это не страшно, никто друг друга не слушает.

Если теория относительности подтвердится, то немцы скажут, что я немец, а французы — что я гражданин мира; но если мою теорию опровергнут, французы объявят меня немцем, а немцы — евреем.

Вы думаете, всё так просто? Да, всё просто. Но совсем не так.

Воображение — это самое главное, оно является отражением того, что мы притягиваем в свою жизнь.

Я слишком сумасшедший, чтобы не быть гением.

Чтобы пробить стену лбом, нужен или большой разбег, или много лбов.

Если вы что-то не можете объяснить шестилетнему ребёнку, вы сами этого не понимаете.

Логика может привести Вас от пункта А к пункту Б, а воображение — куда угодно...

Чтобы выигрывать, прежде всего нужно играть.

Никогда не запоминайте то, что вы можете найти в книге.

Если беспорядок на столе означает беспорядок в голове, то что же тогда означает пустой стол?

https://www.adme.ru/vdohnovenie/bezotnositelnyj-ejnshtejn-649455

"Не пытайтесь решать великие проблемы, не поняв теории, которая их окружает"

Проблемы 2000 года: гипотеза Римана

автор: Сергей Николенко   29.09.2005

http://old.computerra.ru/2005/607/230662/



8 августа 1900 года на 2-м Международном конгрессе математиков в Париже один из величайших математиков современности Давид Гильберт сформулировал двадцать три задачи, которые во многом предопределили развитие математики XX столетия. В 2000 году специалисты из Clay Mathematics Institute решили, что грешно входить в новое тысячелетие, не наметив новую программу развития, -тем более что от двадцати трех проблем Гильберта остались лишь две[Еще две считаются слишком расплывчатыми или нематематическими, еще одна была решена частично, а по поводу еще одной - знаменитой континуум-гипотезы - консенсус пока не достигнут (подробнее об этом)].

В результате появился знаменитый список из семи задач, за полное решение любой из которых обещан миллион долларов из специально учрежденного фонда. Чтобы получить деньги, нужно опубликовать решение и подождать два года; если в течение двух лет никто его не опровергнет (будьте уверены - попытаются), вы получите миллион вожделенных зеленых бумажек.

Я попытаюсь изложить суть одной из этих задач, а также постараюсь (в меру своих скромных сил) объяснить ее сложность и важность. Настойчиво рекомендую зайти на официальный сайт конкурса www.claymath.org/millennium; опубликованные там описания проблем полны и интересны, и именно они стали главным источником при написании статьи.

Гипотеза Римана

Однажды один из моих научных руководителей, выдающийся петербургский алгебраист Николай Александрович Вавилов, начал занятие своего спецкурса с формулы

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = –1/12.

Нет, занятие не было посвящено гипотезе Римана, и узнал я о ней вовсе не от Николая Александровича. Но формула, тем не менее, имеет к гипотезе самое прямое отношение. И что удивительно - это кажущееся абсурдным равенство действительно верно. Точнее сказать, не совсем оно, но дьявол деталей тоже вскоре будет удовлетворен.

В 1859 году Бернард Риман (Bernhard Riemann) опубликовал статью (или, как тогда выражались, мемуар), которой была суждена очень долгая жизнь. В ней он изложил совершенно новый метод асимптотической оценки распределения простых чисел. В основе метода лежала функция, связь которой с простыми числами обнаружил еще Леонард Эйлер, но которая все же получила имя математика, продолжившего ее на всю комплексную плоскость: так называемая дзета-функция Римана. Определяется она очень просто:

ς(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/3s + … .

Любой студент, прослушавший курс математического анализа, тут же скажет, что этот ряд сходится для всякого вещественного s > 1. Более того, он сходится и для комплексных чисел, вещественная часть которых больше единицы. Еще более того, функция ς(s) - аналитическая в этой полуплоскости.

Рассматривать формулу для отрицательных s кажется дурной шуткой: ну какой смысл складывать, например, все положительные целые числа или, тем более, их квадраты или кубы? Однако комплексный анализ - упрямая наука, и свойства дзета-функции таковы, что ее можно продолжить на всю плоскость. Это и было одной из идей Римана, изложенных в мемуаре 1859 года. У полученной функции только одна особая точка (полюс): s = 1, а, например, в отрицательных вещественных точках функция вполне определена. Именно значение аналитически продолженной дзета-функции в точке –1 и выражает формула, с которой я начал этот раздел.

(Специально для патриотов и неравнодушных к истории науки людей отмечу в скобках, что, хотя мемуар Бернарда Римана внес в теорию чисел много свежих идей, он не был первым исследованием, в котором распределение простых чисел изучалось аналитическими методами. Впервые это сделал наш соотечественник Пафнутий Львович Чебышёв, 24 мая 1848 года прочитавший в петербургской Академии наук доклад, в котором изложил ставшие классическими асимптотические оценки количества простых чисел.)

Но вернемся к Риману. Ему удалось показать, что распределение простых чисел - а это центральная проблема теории чисел - зависит от того, где дзета-функция обращается в нуль. У нее есть так называемые тривиальные нули - в четных отрицательных числах (–2, –4, –6, …). Задача состоит в том, чтобы описать все остальные нули дзета-функции.
Этот орешек вот уже полторы сотни лет не могут разгрызть самые талантливейшие математики планеты.

Правда, мало кто сомневается в том, что гипотеза Римана верна. Во-первых, численные эксперименты более чем убедительны; о последнем из них рассказывает статья Хавьера Гурдона (Xavier Gourdon), название которой говорит само за себя: «Первые 1013 нулей дзета-функции Римана и вычисление нулей на очень большой высоте» (вторая часть названия означает, что предложен метод вычисления не только первых нулей, но и некоторых, пусть и не всех, более далеких, вплоть до нулей с номером около 1024). Эта работа пока венчает более чем столетнюю историю попыток проверки гипотезы Римана для некоторого количества первых нулей. Разумеется, контрпримеров к гипотезе Римана не найдено. Кроме того, строго установлено, что больше 40% нулей дзета-функции гипотезе удовлетворяют.

Второй аргумент напоминает одно из доказательств существования Бога, опровергнутых еще Иммануилом Кантом. Если Риман все же ошибся, то неверной станет очень много красивой и правдоподобной математики, построенной в предположении, что гипотеза Римана правильна. Да, этот аргумент не имеет научного веса, но все же… математика - это наука, где красота играет ключевую роль. Красивое, но неверное доказательство сплошь и рядом оказывается полезнее, чем верное, но некрасивое. Так, например, из неудачных попыток доказать великую теорему Ферма выросло не одно направление современной алгебры. И еще одно эстетическое замечание: теорема, аналогичная гипотезе Римана, была доказана в алгебраической геометрии. Получившаяся теорема Делиня (Deligne) по праву считается одним из самых сложных, красивых и важных результатов математики XX столетия.

Итак, гипотеза Римана, по всей видимости, верна - но не доказана. Кто знает, возможно, сейчас этот журнал читает человек, которому суждено войти в историю математики, доказав гипотезу Римана. В любом случае, как и со всеми остальными великими задачами, сразу предупреждаю: не пытайтесь повторить эти трюки дома. Иными словами, не пытайтесь решать великие проблемы, не поняв теории, которая их окружает. Сэкономите нервы и себе, и окружающим.
На десерт - еще немного интересного о дзета-функции. Оказывается, у нее есть и практические применения, и даже физический смысл. Более того, и гипотеза Римана (точнее говоря, ее обобщение, считающееся столь же сложным, сколь и она сама) имеет прямые практические следствия. Например, одной из важных вычислительных задач является проверка чисел на простоту (дано число, нужно сказать, простое оно или нет). Самый теоретически быстрый на данный момент алгоритм решения этой задачи - тест Миллера-Рабина (Miller-Rabin test) - работает за время O(log4n), где n - данное число (соответственно log n - длина входа алгоритма). Однако доказательство того, что он работает так быстро, опирается на гипотезу Римана.

Впрочем, тест на простоту - не слишком сложная проблема с точки зрения теории сложности (в 2002 году был разработан не зависящий от гипотезы Римана алгоритм, который медленнее теста Миллера-Рабина, но тоже полиномиален). Раскладывать числа на простые сомножители гораздо интереснее (и прямые криптографические приложения налицо - стойкость схемы RSA зависит от того, можно ли быстро разложить число на простые), и здесь гипотеза Римана тоже является необходимым условием для доказательства оценок времени работы некоторых быстрых алгоритмов.

Обратимся к физике. В 1948 году голландский ученый Хендрик Казимир (Hendrik Casimir) предсказал эффект, носящий теперь его имя[Эффект Казимира долгое время оставался лишь изящной теоретической идеей; однако в 1997 году Стив Ламоро (Steve K. Lamoreaux), Умар Мохидин (Umar Mohideen) и Анушри Руа (Anushri Roy) смогли провести подтверждающие предшествующую теорию эксперименты]. Оказывается, если сблизить две незаряженные металлические пластины на расстояние в несколько атомных диаметров, они притянутся друг к другу за счет флуктуаций расположенного между ними вакуума - постоянно рождающихся пар частиц и античастиц. Этот эффект чем-то напоминает притяжение подплывших слишком близко друг к другу судов в океане (еще больше он напоминает теорию Стивена Хокинга [Stephen Hawking] о том, что черные дыры все же излучают энергию, - впрочем, тут трудно сказать, кто кого напоминает). Расчеты физической модели этого процесса показывают, что сила, с которой притягиваются пластины, должна быть пропорциональна сумме частот стоячих волн, возникающих между пластинами. Вы уже догадались - эта сумма сводится к сумме 1+2+3+4+…. И более того - правильным значением этой суммы для расчетов эффекта Казимира является именно –1/12.

Но и это еще не все. Некоторые исследователи считают, что дзета-функция играет важную роль… в музыке! Возможно[Я пишу «возможно», потому что единственный источник, который мне удалось разыскать, это переписка в usenet-конференции sci.math. Если вы (читатели) сможете найти более авторитетные источники, мне будет очень интересно об этом услышать], максимумы дзета-функции соответствуют значениям частот, которые могут служить хорошей основой для построения музыкальной шкалы (такой, как наш нотный стан). Что ж, Герман Гессе в своей «Игре в бисер» не зря объявил Игру комбинацией математики и музыки: между ними и впрямь много общего…